Question

函数f（x）=log 3 （a x -1），（a＞0，且a≠1）．

Answer 1

（1）当a＞1时，由函数f（x）=log ₃（a ^x-1），可得a ^x-1＞0，a ^x＞1，解得x＞0，故函数的定义域为（0，+∞）．

当0＜a＜1时，由函数f（x）=log ₃（a ^x-1），可得a ^x-1＞0，a ^x＞1，解得x＜0，故函数的定义域为（-∞，0）．

（2）若该函数的图象经过点M（2，1），则有 log ₃（a ²-1）=1，∴a ²=4，∴a=2．

故函数f（x）= log 3 (2 x -1) ，它的定义域为（0，+∞）．

设x ₂＞x ₁＞0，则 f（x ₂）-f（x ₁）= log 3 (2 x 2 -1) - log 3 (2 x 1 -1) = log 3

2 x 2 -1

2 x 1 -1 ．

再由题设x ₂＞x ₁＞0，可得 2 x 2 -1 ＞2 x 1 -1＞0 ，∴

2 x 2 -1

2 x 1 -1 ＞1，∴ log 3

2 x 2 -1

2 x 1 -1 ＞0，∴f（x ₂）＞f（x ₁），

故函数f（x）= log 3 (2 x -1) 在（0，+∞）上是增函数．