Question

设f（x）定义在[0,c],f'（x）存在且单调减少、f（0）＝0用拉格朗日中值定理证明对于0≤a＜b≤a+b＜c恒有f

Answer 1

用拉格朗日中值定理证明如下:

f '(u)=[f(x)-f(0)]/(x-0)=f(x)/x递减,且0≤a＜b≤a+b

f(a+b)/(a+b)≤f(a)/a得[a/(a+b)]f(a+b)≤f(a)

f(a+b)/(a+b)≤f(b)/b得[b/(a+b)]f(a+b)≤f(b)

两式相加:f(a+b)≤f(a)+f(b)