Question

已知abc都是正数,求证：1/2a+1/2b+1/2c>=1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)

Answer 1

1/a+1/b≥2/√ab≥2/[(b+a)/2]=4/(b+a)(此处两个不等号均用了不等式x+y≥2√xy)

从而1/4a+1/4b≥1/(b+a)

同理1/4a+1/4c≥1/(c+a)

1/4b+1/4c≥1/(c+b)

相加得到1/2a+1/2b+1/2c≥1/(b+c)+1/(a+c)+1/(a+b)

或者：

1/4a+1/4b

=(a+b)/4ab

≥(a+b)/(a+b)^2

=1/(a+b)

同理1/4b+1/4c≥1/(b+c)

1/4c+1/4a≥1/(c+a)

由以上三式可得1/2a+1/2b+1/2c≥1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)

参考资料：statementreply - 同进士出身 六级