（1）证明：
∵四边形OABC为正方形，∴OC=OA．
∵三角板OEF是等腰直角三角形，∴OE 1=OF 1．
又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE 1F 1的位置时，∠AOE 1=∠COF 1，
∴△OAE 1≌△OCF 1． （3分）
（2）存在． （4分）
∵OE⊥OF，
∴过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，
当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，
则点F在以O为圆心，以OF为半径的圆上． （5分）
∴过点F与OF垂直的直线必是圆O的切线．
又点C是圆O外一点，过点C与圆O相切的直线有且只有2条，不妨设为CF 1和CF 2，
此时，E点分别在E 1点和E 2点，满足CF 1∥ OE 1，CF 2∥ OE 2． （7分）
当切点F 1在第二象限时，点E 1在第一象限．
在直角三角形CF 1O中，OC=4，OF 1=2，
cos∠COF 1=
O F 1
OC =
1
2 ，
∴∠COF 1=60°，∴∠AOE 1=60°．
∴点E 1的横坐标为：x E1=2cos60°=1，
点E 1的纵坐标为：y E1=2sin60°=
3 ，
∴点E 1的坐标为（1，
3 ）；（9分）
当切点F 2在第一象限时，点E 2在第四象限．
同理可求：点E 2的坐标为（1，-
3 ）．（10分）
综上所述，三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE ∥ CF，
此时点E的坐标为E 1（1，
3 ）或E 2（1，-
3 ）．（11分）