一条斜率为1的直线l与离心率为√2/2的椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)交于P,Q两点,直线l

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  • 设P(x1,y1),Q(x2,y2),L:y=x+n ∵ e²=1/2,∴ C:x²+2y²-2b²=0,L与C消y得3x²+4nx+2n²-2b²=0,x1+x2=-4n/3,x1x2=(2n²-2b²)/3.

    向量OP*向量OQ=-3----->x1x2+y1y2=-3.y1y2=(x1+n)(x2+n)

    =(n²-2b²)/3,∴ 3n²-2b²+9=0.①.又R(0,n),向量PR=3倍的向量RQ,∴ x1/x2=-3,x2/x1=-1/3,(x1²+x2²)/(x1x2)=-10/3----->

    (x1+x2)/(x1x2)=-4/3------>b²=3n².②,由①,②得b²=3,

    ∴ a²=6,n=±1.∴ 直线L:y=x±1,椭圆C:(x²/6)+(y²/3)=1.