Question

已知等比数列{an}中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差数列，

Answer 1

解题思路：（1）设数列{a_n}的公比为为q，依题意可得2+2q²=4q+2，解之可得q的值，从而可得数列{a_n}的通项公式；

（2）设数列{na_n}的前n项的和为S_n，则S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，利用错位相减法即可求得S_n．

（1）设数列{a_n}的公比为为q，依题意，a₂=2q，a₃=2q²；

∵a₁，a₂+1，a₃成等差数列，

∴a₁+a₃=2（a₂+1），

∴2+2q²=4q+2，

解得q=2或q=0，

∵q≠0，

∴q=2，a_n=2•2^n-1=2ⁿ…（5分）

（2）设数列{na_n}的前n项的和为S_n，

则S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ（1）

2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹（2）…（8分）

（1）-（2）得：

-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹

=

2(2n−1)

2−1-n×2ⁿ⁺¹

=-2-（n-1）×2ⁿ⁺¹，

∴S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2…（14分）

点评：

本题考点： 数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查数列的求和，考查等差数列的性质与等比数列的通项公式，突出考查错位相减法求和的应用，属于中档题．