已知函数f(x)=loga[([1/a]-2)x+1]的区间[1,2]上恒为正值,求实数a的取值范围.

1个回答

  • 解题思路:应该分a>1和0<a<1两种情况讨论,确定真数的范围,使得该对数恒为正.

    ①当a>1时,要使f(x)恒为正,只需真数(

    1

    a−2)x+1当x∈[1,2]时恒大于1,

    令y=(

    1

    a−2)x+1,该函数在[1,2]上是单调函数,因此只需

    (

    1

    a−2)×1+1>1

    (

    1

    a−2)×2+1>1,无解;

    ②当0<a<1时,要使f(x)恒为正,只需真数y=(

    1

    a−2)x+1当x∈[1,2]时,在区间(0,1)内取值,

    而y=(

    1

    a−2)x+1在[1,2]上是单调函数,所以只需

    0<(

    1

    a−2)×1+1<1

    0<(

    1

    a−2)×2+1<1,解得[1/2<a<

    2

    3].

    综上,a的范围是[1/2<a<

    2

    3].

    点评:

    本题考点: 函数恒成立问题.

    考点点评: 本题一方面考查了对数函数的性质,要结合对数函数的图象来解决问题;另一方面要注意分类讨论.