解题思路:应该分a>1和0<a<1两种情况讨论,确定真数的范围,使得该对数恒为正.
①当a>1时,要使f(x)恒为正,只需真数(
1
a−2)x+1当x∈[1,2]时恒大于1,
令y=(
1
a−2)x+1,该函数在[1,2]上是单调函数,因此只需
(
1
a−2)×1+1>1
(
1
a−2)×2+1>1,无解;
②当0<a<1时,要使f(x)恒为正,只需真数y=(
1
a−2)x+1当x∈[1,2]时,在区间(0,1)内取值,
而y=(
1
a−2)x+1在[1,2]上是单调函数,所以只需
0<(
1
a−2)×1+1<1
0<(
1
a−2)×2+1<1,解得[1/2<a<
2
3].
综上,a的范围是[1/2<a<
2
3].
点评:
本题考点: 函数恒成立问题.
考点点评: 本题一方面考查了对数函数的性质,要结合对数函数的图象来解决问题;另一方面要注意分类讨论.