解题思路：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；（Ⅱ）（ⅰ）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+ax有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；（ⅱ）先求出x1∈[[1e，3]时，f（x1）min=f（3）=-9+2ln3，f（x1）max=f（1）=-1；x2∈[[1e，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=103，再将对于“x1，x2∈[1e，3]，不等式f(x1)−g(x2)k−1≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．
（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=-2x+[2/x]=-
2(x+1)(x−1)
x（x＞0）
由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．
∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．
∴函数f（x）的最大值为f（1）=-1．
（Ⅱ）∵g（x）=x+[a/x]，∴g′（x）=1-[a
x2．
（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，
又∵函数f（x）与g（x）=x+
a/x]有相同极值点，
∴x=1是函数g（x）的极值点，
∴g′（1）=1-a=0，解得a=1．
（ⅱ）∵f（[1/e]）=-[1
e2-2，f（1）=-1，f（3）=-9+2ln3，
∵-9+2ln3＜-
1
e2-2＜=1，即f（3）＜f（
1/e]）＜f（1），
∴x1∈[[[1/e]，3]时，f（x1）min=f（3）=-9+2ln3，f（x1）max=f（1）=-1
由（ⅰ）知g（x）=x+[1/x]，∴g′（x）=1-[1
x2．
当x∈[
1/e]，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．
故g（x）在[[1/e]，1）为减函数，在（1，3]上为增函数．
∵g(
1
e)＝e+
1
e，g（1）=2，g（3）=[10/3]，
而2＜e+
1
e＜[10/3]，∴g（1）＜g（[1/e]）＜g（3）
∴x2∈[[[1/e]，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=[10/3]
①当k-1＞0，即k＞1时，
对于“x1，x2∈[[1/e]，3]，不等式
f(x1)−g(x2)
k−1≤1恒成立，等价于k≥[f（x1）-g（x2）]max+1
∵f（x1）-g（x2）≤f（1）-g（1）=-1-2=-3，
∴k≥-2，又∵k＞1，∴k＞1．
②当k-1＜0，即k＜1时，
对于“x1，x2∈[[1/e]，3]，不等式
f(x1)−g(x2)
k−1≤1恒成立，等价于k≤[f（x1）-g（x2）]min+1
∵f（x1）-g（x2）≥f（3）-g（3）=-
37
3+2ln3，
∴k≤−
34
3+2ln3．
又∵k＜1，∴k≤−
34
3+2ln3．
综上，所求的实数k的取值范围为（-∞，−
34
3+2ln3]∪（1，+∞）．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．