Question

求不定积分中的一个递推公式,求积分dx/[(1+x^2)^2] 书上直接给出由递推公式得：

Answer 1

∫ dx/(1+x²)²

令x=tant,dx=sec²t dt

原式=∫ sec²t/(1+tan²t)² dt

=∫ sec²t/(sec²)² dt

=∫ cos²t dt

=(1/2)∫ (1+cos2t) dt

=(1/2)(t+1/2*sin2t) + C

=(1/2)t + (1/2)sintcost + C

=(1/2)arctanx + (1/2)[x/√(1+x²)][1/√(1+x²)] + C

=(1/2)[x/(1+x²)+arctanx] + C