设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意 - 知识问答

设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x1，x2都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)

1个回答

解题思路：（1）因为
1
2
[f(
x
1
)+f(
x
2
)]
=
1
2
(
3
x
1
+
3
x
2
)
，所以利用均值定理即可得证
（2）利用凹函数的图象性质及函数f₂（x）=x|ax-3|的图象特点，可得a的取值范围
（3）因为
f
3
(
x
1
)+
f
3
(
x
2
)＝
f
3
(
x
1
2
+
x
1
2
)+
f
3
(
x
2
2
+
x
2
2
)
，利用已知抽象表达式，结合均值定理即可证明f₃（x）为R上的凹函数
（1）f（x）是凹函数，证明如下：
∀x₁，x₂∈（0，+∞），∵[1/2[f(x1)+f(x2)]=
1
2(
3
x1+
3
x2)≥
3
x1x2≥
3
x1+x2
2]=f(
x1+x2
2)
∴f(
x1+x2
2)≤
1
2[f(x1)+f(x2)]，
∴f(x)＝
3
x(x＞0)是凹函数
（2）∵函数f₂（x）=x|ax-3|=
ax2−3xax≥3
−ax2+3xax＜3
结合二次函数的图象，要想使函数f₂（x）为区间[3，6]上的凹函数，需a＜0或
点评：
本题考点：抽象函数及其应用．
考点点评：本题考查了抽象函数表达式的意义和作用，代数变形和逻辑推理能力，数形结合的思想方法

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