证明：设f（n）=12+13+1n,首先利用数学归纳法证不等式an＜b1+f(n)b,n=3,4,5．
（ⅰ）当n=3时,由a3≤3a23+a2=33a2+1≤33•
2+a12a1+1=b1+f(3)b,知不等式成立．
（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时,不等式成立,即ak＜b1+f(n)b,则ak+1≤(k+1)ak(k+1)+ak=k+1k+1ak+1＜k+1(k+1)•
1+f(k)bb+1=(k+1)b(k+1)+(k+1)f(k)b+b=b1+(f(k)+
1k+1)b=b1+f(k+1)b
即当n=k+1时,不等式也成立．
由（ⅰ）（ⅱ）知,an＜b1+f(n)b,n=3,4,5．．
又由已知不等式得an＜b1+
12[log2n]b=2b2+b[log2n],n=3,4,5,…