Question

已知等差数列{a n }的公差是d，S n 是该数列的前n项和、

Answer 1

（1）设等差数列{a _n}的首项是a ₁，

∴S _n=na ₁+

n(n-1)

2 d，S _m=ma ₁+

m(m-1)

2 d，

∴S _m+n=（m+n）a ₁+

(m+n)(m+n-1)

2 d

=（m+n）a ₁+

m 2 + n 2 +2nm-m-n

2 d

=ma ₁+

m(m-1)

2 d+na ₁+

n(n-1)

2 d+mnd

=S _m+S _n+mnd；

（2）由条件，可得S _m=ma ₁+

m(m-1)

2 d①，S _n=na ₁+

n(n-1)

2 d②，

②×n-①×m得：

（m-n）sn=

1

2 nm（m-1）d -

1

2 mn（n-1）d，

整理得mnd=-2s _n，，

则S _m+n=S _m+S _n+mnd=2s _n-2s _n=0．

（3）类比得到等比数列的结论是：若各项均为正数的等比数列{b _n}的公比为q，前n项和为S _n，则对任意正整数m、n，都有s _m+n=s _m+q ^ms _n．

证明如下：不妨设m≤n，则s _m+n=（b ₁+b ₂+…+b _m）+（b _m+1+b _m+2+…+b _n+m）

=s _m+（b ₁q ^m+b ₂q ^m+…+b _nq ^m）

=s _m+q ^m（b ₁+b ₂+…+b _n）

=s _m+q ^ms _n，

∴s _m+n=s _m+q ^ms _n．

问题解答如下：由s ₂₀=s ₁₀₊₁₀=s ₁₀+q ¹⁰s ₁₀，得q ¹⁰=

s 20 - s 10

s 10 =

15-5

5 =2，

则s ₃₀=s ₁₀₊₂₀=s ₁₀+q ¹⁰s ₂₀=5+2×15=35，

∴s ₅₀=s ₂₀₊₃₀=s ₂₀+q ²⁰s ₃₀=15+2 ²×35=155．