Question

（2003•哈尔滨）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，O1A切⊙O2于点A，过点O；作⊙O2的割线O1HD经过点O2

Answer 1

解题思路：（1）欲证O₁E•AC=AE•AB，可由△O₁AE∽△BCA得出；

（2）求O₁H的长，可以O₁O₂-O₂H，即O₁E+O₂E-O₂H，由题意求出相关线段即可．

（1）证明：∵⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点

∴O₁O₂⊥AB

∵BC是⊙O₂的直径

∴∠BAC=∠O₁AE=90°

∵O₁A切⊙O₂于点A

∴∠O₁AE=∠C

∴△O₁AE∽△BCA

∴O₁E：AB=AE：AC

∴O₁E•AC=AE•AB；

（2）∵⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点

∴AE=EB=0.5AB

∴AE=2

∵∠BAC=∠O₁AE=90°

∴O₁O₂∥AC，O₂B=O₂C

∴O₂E=0.5AC=4，O₂B²=BE²+O₂E²=20

∴O₂B=2

5

∴O₁H=O₁O₂-O₂H=O₁E+O₂E-O₂H=5-2

5．

点评：

本题考点： 切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判断和性质，切线的性质，勾股定理等知识．有一定难度．