证明两道代数题 (速度速度速度)

2个回答

  • 有点长啊...是个苦力活 帮你解解吧

    1)设f(x)=(x-m)(2x+t)+k 则k就是所求余数

    而f(x)=(x-m)(2x+t)+k=2x^2+(t-2m)x-mt+k

    =2x^2+8x+9

    所以 t-2m=8, -mt+k=9

    所以 t=2m+8, k=mt+9=m(2m+8)+9=2m^2+8m+9=2(m+2)^2+1>=1

    所以 k>=1 即余数恒为正数

    2)先看 a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3 是否有因式a-b

    第3项为c(a-b)^3必有因式a-b 丢一边不管它

    剩下的a(b-c)^3+b(c-a)^3

    =a(b-c)(b-c)^2+b(c-a)(c-a)^2

    =(ab-ac)(b-c)^2+(bc-ab)(c-a)^2

    =ab(b-c)^2-ab(c-a)^2-{ac(b-c)^2-bc(c-a)^2}

    =ab(b-c+c-a)(b-c-c+a)-{ac(b-c)^2-bc(c-a)^2}

    =ab(b-a)(b+a-2c)-{ac(b-c)^2-bc(c-a)^2}

    显然ab(b-a)(b+a-2c)是a-b的倍数 则只需考虑ac(b-c)^2-bc(c-a)^2

    ac(b-c)^2-bc(c-a)^2

    =ac(b^2-2bc+c^2)-bc(c^2-2ac+a^2)

    =acb^2-2abc^2+ac^3-bc^3+2abc^2-a^2bc

    =acb^2+ac^3-bc^3-a^2bc

    =acb^2-a^2bc+ac^3-bc^3

    =abc(b-a)+(a-b)c^3 明显为a-b的倍数

    同理 b-c,c-a也是它的因式

    综上 得证

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