Question

（2010•河西区一模）函数f（x）与g（x）=（[1/2]）x互为反函数，则f（4x-x2）的单调递增区间为（　　）

Answer 1

解题思路：先求出反函数f（x），通过换元求出f（4x-x²）=log

1

2

（4x-x²），确定此函数的定义域，然后在定义域的前提条件下根据x-3x²的单调性以及复合函数的单调性可求出所求．

∵函数f（x）与g（x）=（ [1/2]）^x互为反函数，

∴f（x）=log

1

2^x，

∴f（x-3x²）=log

1

2（4x-x²），

由4x-x²＞0得0＜x＜4，即定义域为 （0，4），

x∈（0，2），4x-x²单调递增，此时f（4x-x²）=log

1

2（4x-x²）单调递减；

x∈[2，4）时，4x-x²单调递减此时 f（4x-x²）=log

1

2（4x-x²）单调递增．

∴f（4x-x²）的单调递增区间为[2，4）

故选C．

点评：

本题考点： 反函数；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查反函数的求法，以及复合函数的单调性，体现了整体的数学思想，定义域是单调区间的前提，属于基础题．