Question

计算第一类曲面积分∫∫zdS,其中曲面为圆锥面z=2-根号(x平方+y平方)位于xoy面上方部分

Answer 1

∵z=2-√(x^2+y^2)

则 αz/αx=-x/√(x^2+y^2),α/α=-y/√(x^2+y^2)

∴dS=√[1+(αz/αx)^2+(αz/αy)^2]dxdy=√2dxdy

∵曲面z=2-√(x^2+y^2)位于xoy面上方部分

在xoy平面上的投影是圆域S：x^2+y^2≤4

∴∫∫zdS=√2∫∫[2-√(x^2+y^2)]dxdy

=√2∫dθ∫(2-r)rdr (作极坐标变换)

=2√2π∫(2r-r^2)dr

=2√2π(4-8/3)

=8√2π/3.