Question

已知函数f（x）=loga（x+1），（a＞1）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据对数函数的单调，建立方程关系，即可求实数p的取值范围；

（Ⅱ）要使w≥F（x）对（-1，+∞）内的任意x恒成立，转化为求F（x）_max，即可确定w的取值范围．

（Ⅰ）∵a＞1，∴在（-1，+∞）上为单调递增函数．

∴在区间[m，n]（m＞-1）上f（m）=log a(m+1)＝loga

p

m，f（n）=log a(n+1)＝loga

p

n，

即m+1=[p/m]，n+1=[p/n]，n＞m＞-1．

∴m，n是方程x+1=[p/x]，即方程x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）上有两个相异的解，

这等价于

△＝1+4p＞0

(−1)2+(−1)−p＞0

−

1

2＞−1，

解得−

1

4＜p＜0为所求．

（Ⅱ）F（x）=a^{f（x）-g（x）}=aloga(x+1)−loga(x2−3x+3)=[x+1

x2−3x+3，x＞−1．

即F（x）=

x+1

x2−3x+3＝

1

(x+1)+

7/x+1−5]，

∵（x+1）+

7

x+1−5≥2

7−5，当且仅当x+1=[7/x+1]，即x+1=

点评：

本题考点： 基本不等式在最值问题中的应用；函数的值域；对数函数的单调区间．

考点点评： 本题主要考查对数函数的单调性的应用，将不等式恒成立，转化为求函数的最值是解决本题的关键，考查学生的运算能力．