Question

线性代数问题：设A是n阶实对称矩阵,n为奇数.若A^n=I,证明A=I

Answer 1

实对称矩阵A正交相似于对角阵,对角元都是A的特征值

即存在正交阵P,使得P'AP=D=diag(d1,d2,...,dn),其中的di是A的特征值（由于A对称,特征值都是实数）

A^n=I,以及利用P'P=I

得出D^n=(P'AP)^n=P'*A^n*P=P'*P=I

推出(di)^n=1,对任意i成立

因为di是实数,且n是奇数,得出di=1,对任意i成立

从而P'AP=I

从而A=P*P'=I

证毕