Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1，S n+1 =4a n +2（n∈N*）．

Answer 1

（1）由a ₁=1，及S _n+1=4a _n+2，

得a ₁+a ₂=4a ₁+2，a ₂=3a ₁+2=5，

所以b ₁=a ₂﹣2a ₁=3．

由S _n+1=4a _n+2，①

则当n≥2时，有S _n=4a _n﹣1+2，②

②﹣①得a _n+1=4a _n﹣4a _n﹣1，

所以a _n+1﹣2a _n=2（a _n﹣2a _n﹣1），

又b _n=a _n+1﹣2a _n，所以b _n=2b _n﹣1，

所以{b _n}是以b ₁=3为首项、以2为公比的等比数列．

（2）由（I）可得b _n=a _n+1﹣2a _n=3·2 ^n﹣1，

所以

．

所以数列

是首项为

，公差为

的等差数列．

所以

，

即a _n=（3n﹣1）·2 ^n﹣2（n∈N*）．