Question

线性代数求正交矩阵Q,使Q^-1AQ为对角形,并写出对角形矩阵1 -2 0-2 2 -20 -2 3

Answer 1

|A-λE|=

1-λ -2 0

-2 2-λ -2

0 -2 3-λ

=-(1+λ)(2-λ)(5-λ).

所以A的特征值为λ1=-1,λ2=2,λ3=5.

对λ1=-1,(A+E)X=0 的基础解系为 a1=(2,2,1)'

对λ2=2,(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(-2,1,2)'

对λ3=5,(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(1,-2,2)'

单位化得:

b1=(2/3,2/3,1/3)'

b2=(-2/3,1/3,2/3)'

b3=(1/3,-2/3,2/3)'

令Q=(b1,b2,b3),则Q为正交矩阵,且有

Q^-1AQ = diag(-1,2,5).