（1）∵对称轴为直线x=-
2
2a =4，
∴a=-
1
4 ，
∴抛物线解析式为y=-
1
4 x 2+2x；
（2）∵y=-
1
4 x 2+2x=-
1
4 （x 2-8x+16）+4=-
1
4 （x-4） 2+4，
∴顶点坐标为A（4，4），
令y=0，则-
1
4 x 2+2x=0，
解得x 1=0，x 2=8，
∴点B的坐标为（8，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则
4k+b=4
8k+b=0 ，
解得
k=-1
b=8 ，
所以，直线AB的解析式为y=-x+8，
∵直线l为直线AB平移至经过原点的直线，
∴直线l的解析式为y=-x，
如图，取点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，则△PAB的周长最小，
此时，点A（-4，-4），
点P为线段A′B的中点，
∵
-4+8
2 =2，
-4+0
2 =-2，
∴点P的坐标为（2，-2）；
（3）∵直线AB的解析式为y=-x+8，
∴直线AB与x轴、对称轴的夹角的锐角为45°，
又∵l ∥ AB，
∴∠POB=45°，
根据勾股定理，AB=
4 2 +(8-4) 2 =4
2 ，
PO=
2 2 +2 2 =2
2 ，
①∠BAQ=∠POB=45°时，∵△POB ∽ △BAQ，
∴
PO
AB =
OB
AQ ，
即
2
2
4
2 =
8
AQ ，
解得AQ=16，
∴Q的横坐标为16+4=20，纵坐标为4，
∴点Q的坐标为（20，4）；
②∠ABQ=∠POB=45°时，∵△POB ∽ △ABQ，
∴
PO
AB =
OB
BQ ，
即
2
2
4
2 =
8
BQ ，
解得BQ=16，
∴点Q的坐标为（8，16），
综上所述，存在点Q（20，4）或（8，16）使以A，B，Q为顶点的三角形与△POB相似．