Question

如图，在正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=1

Answer 1

（1）连接A ₁D、DB．由正方体可得 A 1 B 1

∥

. DC ，∴对角面A ₁B ₁CD是一个平行四边形，∴B ₁C ∥ A ₁D．

∴∠BA ₁D或其补角即为异面直线A ₁B与B ₁C所成的角，

∵△A ₁BD是一个等边三角形，

∴∠BA ₁D=60°即为异面直线A ₁B与B ₁C所成的角；

（2）证明：由（1）可知：A ₁D ∥ B ₁C，而A ₁D⊄平面B ₁CD ₁，B ₁C⊂平面B ₁CD ₁，

∴A ₁D ∥ 平面B ₁CD ₁，

同理可得A ₁B ∥ 平面B ₁CD ₁，

又∵A ₁D∩A ₁B=A ₁，

∴平面A ₁BD ∥ 平面B ₁CD ₁．