解题思路：（Ⅰ）由题设先求出f′（x）=ax2+2bx+c，再由f′（1）=a+2b+c=0，a＜b＜c，推导出判别式△=4b2-4ac≥0，由此利用题设条件，结合根与系数的关系，能够得到|s-t|的取值范围．
（Ⅱ）由f′（x）+a＜0，a＜0，得
(2x-2) •
b
a
+
x
2
＞0
．设
g(
b
a
)=(2x-2) •
b
a
+
x
2
，由题意，函数y=
g(
b
a
)
对于
0≤
b
a
＜1
恒成立．由此能求出k的最小值．
（Ⅰ）∵f′（x）=ax2+2bx+c，
∴f′（1）=a+2b+c=0又a＜b＜c，
得4a＜a+2b+c＜4c，即4a＜0＜4c，
故a＜0，c＞0．
则判别式△=4b2-4ac≥0，
∴方程f′（x）=ax2+2bx+c=0（*）有两个不等实根，
设为x1，x2，又由f′（1）=a+2b+c=0知，x1=1为方程（*）的一个实根，
又由根与系数的关系得x1+x2=-
2b
a，x2=-
2b
a-1＜0＜x1．（3分）
当x＜x2或x＞x1时，f′（x）＜0，当x2＜x＜x1时，f′（x）＞0，
故函数f（x）的递增函数区间为[x2，x1]，
由题设知[x2，x1]=[s，t]，
因此|s-t| = |x1-x2| = 2+
2b
a，（6分）
由（1）知0≤
b
a＜1，得|s-t|的取值范围为[2，4）． （8分）
（Ⅱ）由f′（x）+a＜0，即ax2+2bx+a+c＜0，即ax2+2bx-2b＜0．
因a＜0，得x2+
2b
ax-
2b
a＞0，整理得(2x-2) •
b
a+x2＞0． （9分）
设g(
b
a)=(2x-2) •
b
a+x2，它可以看作是关于[b/a]的一次函数．
由题意，函数y=g(
b
a)对于0≤
b
a＜1恒成立．
故
g(1)≥0
g(0)＞0，即
x2+2x-2≥0
x2＞0，得x≤-
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．