Question

高二三角函数在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中c边最长,并且sin2A+sin2B=1.(1)求证:

Answer 1

⑴∵sin²A+sin²B=1

∴(1-cos2A)/2 + (1-cos2B)/2=(1/2) - (cos2A)/2 + (1/2) - (cos2B)/2=1 - (cos2A + cos2B)/2=1

∴(cos2A + cos2B)/2=0 ,即：cos2A + cos2B=0

根据和差化积：cos(A+B)cos(A-B)=0

∴cos(A+B)=0或cos(A-B)=0

则A+B=90°或A-B=90°

∵角C所对应的边最长

∴角C在△ABC的三个角中最大

∴A+B=90°

∴△ABC为直角三角形

⑵∵2ab≤a²+b²且a²+b²=c²=1²=1

∴ab≤1/2

∵S△ABC=(1/2)ab

∴S△ABC≤1/4

则△ABC面积的最大值是1/4