Question

已知数列{an}满足an+1=2an-1，a1=3，

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）依题意有a_n+1-1=2a_n-2可得，

a

n+1

−1

a

n

−1

＝2

，从而可得数列{a_n-1}是等比数列

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a_n=2ⁿ+1，利用分组求和及等差数列的前n项目和公式可求

（Ⅰ）依题意有a_n+1-1=2a_n-2且a₁-1=2，

所以

an+1−1

an−1＝2

所以数列{a_n-1}是等比数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n-1=（a₁-1）2^n-1，

即a_n-1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ+1

而S_n=a₁+a₂+…+a_n=（2+1）+（2²+1）+（2²+1）+…+（2ⁿ+1）=（2+2²+2²+…+2ⁿ）+n=

2(1−2n)

1−2+n=2ⁿ⁺¹-2+n．

点评：

本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．

考点点评： 本题主要考查了利用构造的方法证明等比数列，要注意该方法的应用，还考查了等比数列的前n项和公式的应用．