答案：余数是7.
这类型的题目都是采用一般方法来做,就是用前面几个数字来找规律,寻找第几个数被13除后的余数是1.
因为一个数字m如果能被13除余1的话,它就可以写成 m=13n+1这种形式.那么根据题意它再乘以2之后就是26m+2,这个数被13除后的余数显然是2,又会跟第一个数的余数相同了.所以这个数对应的次方就是余数变化的一个周期.（这句话你要能理解好,这道题目就不难了.）
首先从2开始,2除以13的余数是2；2的2次方是4,余数是4；按照这个方法一直找下去,发现第12个数也就是2的12次方被13除后余1,所以12是余数变化的周期.
接下来把2003除以12后得到余数是11,因此2的2003次方除以13的余数是与2的11次方除以13的余数相同.刚才算过的,2的11次方也就是2048,除以13余数为7.故2的2003次方除以13的余数为7.
这应该是小学奥数题吧,这种类型的题目都是用这个方法做的.