2ab=4√3
e=c/a=1/2
解得a=2,b=√3
椭圆方程为：x²/4+y²/3=1
设直线方程y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点为H(x3,y3)
以PM PN为领边的平行四边形是菱形→PM=PN,即P是MN中垂线与y轴交点
直线与椭圆相交→(4k²+3)x²-8k²x+4k²-12=0→Δ>0得k∈R
x1+x2=8k²/(4k²+3)
得x3=(x1+x2)/2=4k²/(4k²+3)
y3=k(x3-1)=-3k/(4k²+3)
①k≠0时
PH⊥MN,得PH的斜率为-1/k
得直线PH方程为：y+3k/(4k²+3)=(-1/k)[x-4k²/(4k²+3)]
即y=-(1/k)x+k/(4k²+3)
所以m=k/(4k²+3)得-√3/12≤m<0或0
②k=0时,M,N为椭圆左右端点,此时y轴上任意非原点的点都满足条件
得m≠0
所以当k∈R时,m的取值范围是m≠0