梅涅劳斯定理证明三角形三条高线交于一点

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  • 塞瓦定理

    设O是△ABC内任意一点,

    AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

    证法简介

    (Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明:

    ∵△ADC被直线BOE所截,

    ∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①

    而由△ABD被直线COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②

    ②÷①:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

    (Ⅱ)也可以利用面积关系证明

    ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

    同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

    ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

    利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

    设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,

    根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/

    [(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点.