Question

（2010•上海）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*．

Answer 1

解题思路：（1）通过a_n=S_n-S_n-₁求出当≥2时，a_n的通项公式，进而可得出

a

n

−1

a

n−1

−1

为常数，进而验证a₁-1最后可确定{a_n-1}是等比数列；

（2）根据（1）{a_n-1}是以15为首项，公比为[5/6]的等比数列可求得数列{a_n-1}的通项公式，进而求出数列{a_n}的通项公式．可知

{a_n}是由常数列和等比数列构成，进而求出S_n．进而代入S_n+1＞S_n两边求对数，进而可得答案．

（1）当n=1时，a₁=-14；

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-₁=-5a_n+5a_n-₁+1，

所以an−1＝

5

6(an−1−1)，

又a₁-1=-15≠0，所以数列{a_n-1}是等比数列；

（2）由（1）知：an−1＝−15•(

5

6)n−1，

得an＝1−15•(

5

6)n−1，

从而Sn＝75•(

5

6)n−1+n−90（n∈N^*）；

由S_n+1＞S_n，得(

5

6)n−1＜

2

25，n＞log

5

6

2

25+1≈14.9，

最小正整数n=15．

点评：

本题考点： 等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查了数列等比关系的确定．等比数列的通向公式可以写成anqa1＝qn，所以它与指数函数和对数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数和对数函数的性质来研究等比数列．