已知圆x^2+y^+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,求实数m的值

1个回答

  • 设P(x1,y1),Q(x2,y2)

    根据OP⊥OQ:两直线斜率夹角90°,

    y1×y2 + x1×x2 = 0 ①

    将直线方程代入圆方程(置换掉x):

    (3-2y)^2 + y^2 + (3-2y) - 6y + m = 0

    即 5y^2 - 20y + 12 + m = 0 有两实根y1、y2

    y1 × y2 = (m+12)/5 ②

    将直线方程代入圆方程(置换掉y):

    x^2 + [(3-x)/2]^2 + x - 6[(3-x)/2] + m = 0

    即 5x^2 + 10x -27 + 4m = 0 有两实根x1、x2

    x1 × x2 = (4m-27)/5 ③

    利用②、③代入①式得到:

    (4m-27)/5 + (m+12)/5 =0

    m=3

    初始的圆方程为:

    (x-1/2)^2 + (y-3)^2 = 9 + 1/4 - m = 25/4 ④

    圆心O坐标为(-1/2,3),半径为5/2

    直线方程:x + 2y - 3 = 0 ⑤