数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).

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  • 解题思路:(I)利用递推公式an+1=2Sn把已知转化为an+1与an之间的关系,从而确定数列an的通项;

    (II)由(I)可知数列an从第二项开始的等比数列,设bn=n则数列bn为等差数列,所以对数列n•an的求和应用乘“公比”错位相减.

    (I)∵an+1=2Sn

    ∴Sn+1-Sn=2Sn

    Sn+1

    Sn=3.

    又∵S1=a1=1,

    ∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列,Sn=3n-1(n∈N*).

    ∴当n≥2时,an-2Sn-1=2•3n-2(n≥2),

    ∴an=

    1,n=1

    2•3n−2,n≥2

    (II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan

    当n=1时,T1=1;

    当n≥2时,Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n-2,①3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n-1,②

    ①-②得:-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n•3n-1=2+2•

    3(1−3n−2)

    1−3−2n•3n−1=-1+(1-2n)•3n-1

    ∴Tn=[1/2]+(n-[1/2])3n-1(n≥2).

    又∵Tn=a1=1也满足上式,∴Tn=[1/2]+(n-[1/2])3n-1(n∈N*)

    点评:

    本题考点: 数列的求和;数列递推式.

    考点点评: 本小题考查数列的基本知识,考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和,考查分类讨论及化归的数学思想方法,以及推理和运算能力.