Question

证明：当x大于等于y时,e的x次方大于等于e的y次方乘(x-y+1)

Answer 1

e^x-(x-y+1)e^y>0

e^x-e^y+(y-x)e^y>0

(e^x-e^y)/(x-y)e^y>1

(e^(x-y)-1)/(x-y)>1

以上是不等式等价变形,因为x>y,设x-y=n,则n>0

下面证明(e^n-1)/n>1

对f(n)=(e^n-1)/n求导,得

f(n)导=[(n-1)e^n +1]/(n^2)

显然有(n-1)e^n>-1(很容易就能分析出来)

即f(n)导>0,所以当n>0时,f(n)递增

且limn→0 f(n)=1(e^n-1与n是等价无穷小量)

所以当n>0时,f(n)>1

所以原命题得证.