已知等比数列{an}的通项公式为an=3n-1，设 - 知识问答

已知等比数列{an}的通项公式为an=3n-1，设数列{bn}满足对任意自然数n都有b1a1+b2a2+b3a3+┅+b

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解题思路：（1）把已知条件中的n换成n-1得到②，相减可得
b
n
a
n
＝2
，再由a_n=3^n-1求出数列{b_n}的通项公式．
（2）要求的式子即 3+（2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹⁰，利用等比数列的前n项和公式，求出要求式子的值．
（1）∵对任意正整数n，有
b1
a1+
b2
a2+
b3
a3+┅+
bn
an=2n+1，①
∴当n≥2时，
b1
a1+
b2
a2+
b3
a3+┅+
bn−1
an−1=2n-1，②…（4分）
①-②得
bn
an＝2；故 b_n=2a_n=2×3^n-1（n≥2）． …（7分）
当n=1时，
b1
a1＝3，
又a₁=1，∴b₁=3．
∴bn＝
3，(n＝1)
2×3n−1，(n≥2)． …（10分）
（2）b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁=3+（2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹⁰）=3+3（3²⁰¹⁰-1）=3²⁰¹¹．…（15分）
点评：
本题考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．
考点点评：本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，求得bnan＝2，是解题的关键，属于中档题．

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