解题思路：（1）根据ASA证△EOD≌△FOB即可；
（2）推出DE=BF，根据平行四边形性质求出∠A=∠C，推出AE=CF，根据SAS证△ABE≌△CDF即可；
（3）分为三种情况，求出△DFC的周长，每种情况m+n都等于△DFC的周长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
∵EF垂直平分BD，
∴OB=OD，
在△EOD和△FOB中，
∵
∠EOD＝∠FOB
OD＝OB
∠EDO＝∠FBO，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴BF=DE；
（2）证明：∵△EOD≌△FOB，
∴DE=BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC，
∴AD-DE=BC-BF，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，
∵
AB＝CD
∠A＝∠C
AE＝CF
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（3）∵EF垂直平分BD，
∴BF=DF，
∵△ABE≌△CDF，
∴DF=BE，AE=CF，
∴△DFC的周长是DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=15，
△ABE的周长也是15，
①当P在AB上，Q在CD上，
∵AB∥CD，
∴∠BPO=∠DQO，
∵∠POB=∠DOQ，OB=OD，
∴△BPO≌△DQO，
∴BP=DQ，
∴m+n
=BP+DF+CF+CQ
=DF+CF+CQ+DQ
=DF+CF+CD
=15
②当P在AE上，Q在CF上，
∵AD∥BC，
∴∠PEO=∠QFO，
∵△EOD≌△FOB，
∴OE=OF，
∵∠PEO=∠QFO，∠EOP=∠FOQ，
∴△PEO≌△QFO，
∴PE=QF，
∵AE=CF，
∴CQ=AP，
m+n
=AB+AP+DF+PQ
=CD+CQ+DF+FQ
=DF+CF+CD
=15；
③当P在BE上，Q在DF上，
∵AD=BC，AE=CF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF，
∴∠PEO=∠FQO，
∵∠EOP=∠FOQ，OE=OF，
∴△PEO≌△FQO，
∴PE=FQ，
∴m+n
=AB+AE+PE+DQ
=CD+CF+QF+DQ
=DF+CF+CD
=15．
点评：
本题考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
考点点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用．