（Ⅰ）函数f（x的定义域为（0，+∞）．
因为f′（x）=a（lnx+1），
令f′（x）=0，解得x=[1/e]．
①当a＞0时，随着x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：
x（0，[1/e]）[1/e]（[1/e]，+∞）
f′（x）-0+
f（x）↘↗即函数f（x）在（0，[1/e]）上单调递减，在（[1/e]，+∞）上单调递增．
②当a＜0时，随着x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下：
x（0，[1/e]）[1/e]（[1/e]，+∞）
f′（x）+0-
f（x）↗↘即函数f（x）在（0，[1/e]）上单调递增，在（[1/e]，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）当a＜0时，对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜3ax+1成立，
axlnx＜3ax+1．
所以axlnx-3ax-1＜0．
设g（x）=axlnx-3ax-1．
因为g′x）=a（lnx-2），
令g′（x）=0，解得x=e2．
因为a＜0，
所以随着x变化时，g（x）和g′（x）的变化情况如下：
x（0，e2）e2（e2，+∞）
g′（x）+0-
g（x）↗↘即函数g（x）在（0，e2）上单调递增，在（e2，+∞）上单调递减．
所以g（x）min=g（e2）=-ae2-1．
所以-ae2-1＜0．
所以a＞-[1
e2．
所以a的取值范围为（-
1
e2，0）．
法二：
当a＜0时，对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜3ax+1成立，
即axlnx＜3ax+1．
所以a（xlnx-3x）＜1．
即
1/a]＜xlnx-3x．
设g（x）=xlnx-3x．
因为g′（x）=lnx-2，
令g′（x）=0，解得x=e2．
所以随着x变化时，g（x）和g′（x）的变化情况如下：
x（0，e2）e2（e2，+∞）
g′（x）-0+
g（x）↘↗即函数g（x）在（0，e2）上单调递减，在（e2，+∞）上单调递增．
所以g（x）min=g（e2）=-e2．
所以[1/a]＜-e2．
所以a＞-
1
e2．
所以a的取值范围为（-
1
e2，0）．