解题思路：（I）令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标；（II）求出点A关于对称轴的对称点（2，-2），然后设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式，再根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式；（III）由（II）可知y=-2x+2，又因为m=23-a（a＞0），所以P点的坐标可用含a的代数式表示为（23-a，23+2a），若在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，则可求出m的取值范围，进而可求出a的取值范围．
（1）当x=0时，y=-2，
∴A（0，-2），
抛物线的对称轴为直线x=-[−2m/2m]=1，
∴B（1，0）；
（2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，-2），
则直线l经过A′、B，
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
2k+b＝−2
k+b＝0，
解得：
k＝−2
b＝2，
∴直线l的解析式为y=-2x+2；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，
结合图象可以观察到抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，在-1＜x＜0这一段位于直线l的下方，
∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，
当x=-1时，y=-2×（-1）+2=4，
所以，抛物线过点（-1，4），
当x=-1时，m+2m-2=4，
解得m=2，
∴抛物线的解析式为y=2x2-4x-2；
（III）∵y=-2x+2，点P在直线上，
∴P点的坐标可用含a的代数式表示为（[2/3]-a，[2/3]+2a），
∵a＞0，
∴m＜[2/3]＜a，
若在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，则
0≤m＜
2
3
1＜a≤2或
−1≤m＜0
2
3＜a≤1，
解得：[1/6＜a＜
2
3]．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，第（II）小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（-1，4）是解题的关键．