Question

等差数列{ a n }中a 3 =7，a 1 +a 2 +a 3 =12，记S n 为{a n }的前n项和，

Answer 1

（1）设数列{a _n}的公差为d，

由a ₃=a ₁+2d=7，a ₁+a ₂+a ₃=3a ₁+3d=12，

解得a ₁=1，d=3，

∴a _n=3n-2，

S n =n+

n(n-1)

2 ×3 =

3n 2 -n

2 ．

（2）∵b _n=a _na _n+1=（3n-2）（3n+1），

∴

1

b n =

1

(3n-2)(3n+1) =

1

3 (

1

3n-2 -

1

3n+1 ) ，

T n =

1

3 (1-

1

4 +

1

4 -

1

7 +

1

7 -

1

11 +…+

1

3n-5 -

1

3n-2 +

1

3n-2 -

1

3n+1 )

=

1

3 (1-

1

3n+1 )＜

1

3 ．

（3）由（2）知， T n =

n

3n+1 ，∴ T 1 =

1

4 ， T m =

m

3m+1 ， T n =

n

3n+1 ，

∵T ₁，Tm，Tn成等比数列，

∴ (

m

3m+1 ) 2 =

1

4 ×

n

3n+1 ，

即

6m+1

m 2 =

3n+4

n ，

当m=1时，7=

3n+4

n ，n=1，不合题意；

当m=2时，

13

4 =

3n+4

n ，n=16，符合题意；

当m=3时，

19

9 =

3n+4

n ，n无正整数解；

当m=4时，

25

16 =

3n+4

n ，n无正整数解；

当m=5时，

31

25 =

3n+4

n ，n无正整数解；

当m=6时，

37

36 =

3n+4

n ，n无正整数解；

当m≥7时，m ²-6m-1=（m-3） ²-10＞0，

则

6m+1

m 2 ＜1 ，而

3n+4

n =3+

4

n ＞3 ，

所以，此时不存在正整数m，n，且7＜m＜n，使得T ₁，Tm，Tn成等比数列．

综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T ₁，Tm，Tn成等比数列．