Question

在一次课题学习中活动中，老师提出了如下一个问题：

Answer 1

解题思路：（1）利用△MPE∽△MNA中的成比例线段可知EM=2EA，所以MP：MN=2：3，即点P是线段MN的一个三等分点；

（2）由（1）中的证明过程可知，在EB上取M₁，使EM₁=[1/2]AE，直线M₁P就是满足条件的直线，所以能画出一条符合题目条件的直线；

（3）当点P在线段A₁C₁上，根据正方形的性质可知能够画出符合题目条件的直线有无数条；

（4）分情况讨论．

（1）甲同学的画法正确；

∵PE∥AD，

∴△MPE∽△MNA，

∴[MP/MN＝

ME

MA]，

∵EM=2EA，

∴MP：MN=2：3，

∴点P是线段MN的一个三等分点．

（2）能画出一个符合题目条件的直线，在EB上取M₁，使EM₁=[1/2]AE，直线M₁P就是满足条件的直线，图2；

（3）若点P在线段A₁C₁上，能够画出符合题目条件的直线无数条，图3；

（4）若点P在A₁C₁，A₂C₂，B₁D₁，B₂D₂上时，可以画出无数条符合条件的直线l；

当点P在正方形A₀B₀C₀D₀内部时，不存在这样的直线l，使得点P是线段MN的三等分点；

当点P在矩形ABB₁D₁，CDD₂B₂，A₀D₀D₂D₁，B₀B₁B₂C₀内部时，过点P可画出两条符合条件的直线l，使得点P是线段MN的三等分点．

点评：

本题考点： 正方形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 主要考查了正方形的性质和复杂作图的运用．掌握正方形的性质并具备综合分析的能力是解题的关键．