Question

设正实数x,y,z满足x^2-3xy+4y^2-z=0,则z/xy取得最大值时,x+2y+-z的最大值为 (A)0 (B

Answer 1

题目有点问题,z/(xy)没有最大值.

由条件z = x²+4y²-3xy,故z/(xy) = x/y+4y/x-3.

取x = 1,当y趋于0时,可知右端趋于正无穷.

正确的说法可能是z/(xy)取最小值或者等价的(xy)/x取最大值.

根据均值不等式,z/(xy) = x/y+4y/x-3 ≥ 2·√((x/y)(4y/x))-3 = 1.

等号成立当且仅当x/y = 4y/x,即x = 2y时z/(xy)取得最小值1.

此时z = x²+4y²-3xy = 2y²,x+2y-z = 4y-2y² = 2-2(y-1)².

在y = 1时取得最大值2.

故选C.