Question

已知三角形ABC,C=90°,R,r为外接圆,内切圆半径,求R/r的最小值

Answer 1

设两直角边长分别为a,b

则R=[根号（a²+b²）]/2

根据等积法

r*c=a*b

r=a*b/c=a*b/[根号（a²+b²）+a+b]

∴R/r=｛[根号（a²+b²）+a+b]*[根号（a²+b²）]｝/2ab

≥[根号（a*b/2）]*[（a+b+根号（a²+b²））/a*b]=（根号2）/2*[根号（a/b）+根号（b/a）+根号（a/b+b/a)]≥（根号2）+1

说上述“=”均当且仅当a=b时,取到