Question

已知函数f（x）定义域为R，对于定义域内任意x、y，都有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＞0时，f（x）＜0，则（

Answer 1

解题思路：令x=y=0，求出f（0）=0，再令y=-x，即可判断函数的奇偶性，再令x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0，由奇偶性即可判断处函数的单调性．

令x=y=0，则2f（0）=f（0），f（0）=0，

再令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（x）为奇函数，

故A，B错，在C，D中选，

再令x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）+f（-x₁）＜0，

即f（x₂）-f（x₁）＜0，故f（x）在R上是减函数，C正确，D错误．

故选C．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性和单调性及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，是一道基础题．