Question

已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有2f（x）+f（-x）+2x=0成立，

Answer 1

解题思路：（1）把2f（x）+f（-x）+2^x=0中的x换为-x可得2f（-x）+f（x）+2^-x=0，联立两式可求得f（x）；

（2）利用函数单调性的定义可作出判断证明；

（1）由2f（x）+f（-x）+2^x=0①，

得2f（-x）+f（x）+2^-x=0②，

联立①②可解得f（x）=[1/3(2−x−2x+1)，

∴f（x）=

1

3(2−x−2x+1)；

（2）f（x）为R上的减函数，证明如下：

任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，

则f（x₁）-f（x₂）=

1

3(2−x1−2x1+1)-

1

3(2−x2−2x2+1)

=

1

3][（[1

2x1−

1

2x2）+2（2x2−2x1）]

=

1/3(2x2−2x1)（

1

2x1+x2+2），

又x₁0，

1

2x1+x2]+2＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），

∴f（x）在定义域R上单调递减．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查函数解析式的求解及单调性的判断，定义是证明函数单调性的基本方法，若已知条件为关于f（x）和f（-x）的表达式，则可通过构造方程求解析式