题目本身是有问题的,最后结论要改为Ax=b 的任一个解必可由 α,α+η1,…,α+ηt 线性表出,但表出系数的和要等于1,这是一个很老的证明题.
它的由来是人们已经找到了齐次方程组Ax=0的基础解系,就想能不能像齐次方程组一样,找出非齐次方程组的类似于基础解系一样的线性无关的解向量组,结果找不出,失败了,但找到了像题中结论一样的向量组,但系数就有了要求.
下面是本题的证明：
因为η1……ηt是齐次方程组Ax=0的基础解系,α是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,故非齐次方程组 Ax=b 的任一个解x都可由本身的一个解加上对应齐次方程组的通解来表示,即x=α+c1η1+c2η2+...+ctηt=(1-c1-c2-...-ct)α+c1(α+η1)+c2(α+η2)+...+ct(α+ηt),记1-c1-c2-...-ct=c0,这样非齐次方程组 Ax=b 的任一个解x=c0α+c1(α+η1)+c2(α+η2)+...+ct(α+ηt),其中c1,c2,...,ct为任意数.