Question

已知f（x）是偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若f（ax）≤f（x2+2）恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：由已知中f（x）是偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若f（ax）≤f（x²+2）恒成立，我们易根据恒函数的性质，将问题转化为|ax|≤x²+2恒成立，进而根据二次函数恒成立问题，我们易构造关于a的不等式，解不等式即可得到．

∵f（x）是偶函数，在[0，+∞）上是增函数，

则函数f（x）在区间（-∞，0]上是减函数；

若f（ax）≤f（x²+2）恒成立，

则|ax|≤x²+2恒成立

即-（x²+2）≤ax≤x²+2

即a²-8≤0

解得−2

2≤a≤2

2

故答案为：−2

2≤a≤2

2

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；函数单调性的性质；偶函数．

考点点评： 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的单调性与函数奇偶性的应用，其中根据已知条件，判断出函数的单调性，进而将问题转化为一个绝对值不等式恒成立问题，是解答本题的关键．