Question

已知a、b、c∈R,且a+b+c=1求证:.a∧2+b∧2+c∧2≥1/3

Answer 1

证明:

由基本不等式可得:

a²+b²≧2ab.

b²+c²≧2bc.

c²+a²≧2ca.

上面的三个等号仅当a=b=c=1/3时取得,

三式相加,整理可得:

2(a²+b²+c²)≧2ab+2bc+2ca

∴两边同加a²+b²+c²,可得:

3(a²+b²+c²)≧a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca.

∵a+b+c=1.

∴两边平方可得:

1=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca.

∴3(a²+b²+c²)≧1.

∴a²+b²+c²≧1/3.