1.∵椭圆的中心为原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭
圆与AB两点,
∴设此椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1.(1)
则直线方程为y=x-c,c是椭圆的半焦距,.(2)
解方程组（1）和（2）,得x1+x2=2a²c/(a²+b²),y1+y2=-2b²c/(a²+b²),
（其中,x1,y1和x2,y2是解方程组的两组解）.
∴（x1+x2）/（y1+y2）=-a²/b².
∵向量OA+向量OB与向量N(3,-1)共线,
∴有（x1+x2）/（y1+y2）=3/(-1)=-3.
于是 -a²/b²=-3,即 a²=3b².
∵c²=a²-b²=2b²,
∴c/a=√3b/√2b=√6/2.
故椭圆的离心率是√6/2.
2.∵所求双曲线与双曲线x^2/16-y^2/4=1有公共焦点,且过点（3√2,2）
∴设所求双曲线标准方程为 x²/a²-y²/b²=1,
则有a²+b²=16+4=20.(1)
18/a²-4/b²=1.(2)
解方程组（1）和（2）得 a²=12,b²=8.
故求双曲线标准方程是 x²/12-y²/8=1.
3.由ax+by+c=0变形得 y=-ax/b-c/b.
于是,直线ax+by+c=0在两坐标轴上的交点分别是（-c/a,0),(0,-c/b).
∵直线ax+by+c=0在第一,二,三象限,
∴ -c/a0.则ac>0,bc