解题思路:(1)由已知得CD⊥平面SAD,从而AM⊥CD,由等腰三角形性质得AM⊥SD,从而AM⊥平面SCD,由此能证明AM⊥SC.
(2)以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AS为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角S-AC-M的余弦值.
(1)证明:∵CD⊥AD,CD⊥SA,
∴CD⊥平面SAD,又AM⊂平面SAD,
∴AM⊥CD,又∵SA=AD,M为SD中点,
∴AM⊥SD,
∴AM⊥平面SCD,又SC⊂平面SCD,
∴AM⊥SC.
(2)以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,
AS为z轴,建立空间直角坐标系,
设SA=AD=2AB=2,
则A(0,0,0),S(0,0,2),
C(1,2,0),M(0,1,1),
AS=(0,0,2),
AC=(1,2,0),
AM=(0,1,1),
设平面SAC的法向量为
n=(x,y,z),
则
n•
AS=2z=0
n•
AC=x+2y=0,取y=1,得
n=(−2,1,0),
设平面ACM的法向量
m=(a,b,c),
则
m•
AM=b+c=0
m•
AC=a+2b=0,取b=1,得
m=(−2,1,−1),
cos<
m,
n>=
4+1
5
6=
30
6.
∴二面角S-AC-M的余弦值为
30
6.
点评:
本题考点: 与二面角有关的立体几何综合题.
考点点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.