解题思路:(1)根据B点的坐标即可求出A、C的坐标.
(2)本问要分类进行讨论:
①当直线m在AC下方或与AC重合时,即当0<t≤4时,根据平行得到两对同位角的相等可证△OMN∽△OAC,用两三角形的相似比求出面积比,即可得出S与t的函数关系式.
②当直线m在AC上方时,即当4<t<8时,由平行得到一对同位角相等,再由一对直角的相等得到△DAM∽△AOC,根据相似得比例,由OD,AD表示出AM的长,进而得到BM的长,再由MN∥AC,得到两对同位角的相等,从而得到△BMN∽△BAC,由相似得比例BN的长,从而得到CN的长,然后分别表示出各个三角形的面积,可用矩形OABC的面积-三角形BMN的面积-三角形OCN的面积-三角形OAM的面积来求得.
(3)根据(2)得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值.
(1)(4,0),(0,3);
(2)当0<t≤4时,OM=t
∵MN∥AC,
∴∠OMN=∠OAC,∠ONM=∠OCA,
∴△OMN∽△OAC,
∴[OM/OA]=[ON/OC],即[t/4]=[ON/3],
∴ON=[3/4t,则S=
1
2]OM•ON=[3/8]t2;
当4<t<8时,
如图,∵OD=t,
∴AD=t-4,
∵MN∥AC,
∴∠CAO=∠MDA,
又∠COA=∠MAD=90°,
∴△DAM∽△AOC,可得AM=[3/4](t-4),
∴BM=6-[3/4t,
∵MN∥AC,
∴∠BNM=∠BCA,∠BMN=∠BAC,
∴△BMN∽△BAC,可得BN=
4
3]BM=8-t
∴CN=t-4
S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积-Rt△MBN的面积-Rt△NCO的面积
=12-[3/2](t-4)-[1/2](8-t)(6-[3/4t)-
3
2(t−4)=−
3
8]t2+3t
(3)有最大值.
当0<t≤4时,
∵抛物线S=[3/8]t2的开口向上,在对称轴t=0的右边,S随t的增大而增大
∴当t=4时,S可取到最大值[3/8]×42=6;(11分)
当4<t<8时,
∵抛物线S=−
3
8t2+3t的开口向下,它的顶点是(4,6),
∴S≤6,
综上,当t=4时,S有最大值6.
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 本题考查了矩形的性质,二次函数的应用、图形的面积求法等知识,其中涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质,二次函数求最值的方法,在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果,考查了学生综合运用知识解决问题的能力.