如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方

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  • 解题思路:(1)根据B点的坐标即可求出A、C的坐标.

    (2)本问要分类进行讨论:

    ①当直线m在AC下方或与AC重合时,即当0<t≤4时,根据平行得到两对同位角的相等可证△OMN∽△OAC,用两三角形的相似比求出面积比,即可得出S与t的函数关系式.

    ②当直线m在AC上方时,即当4<t<8时,由平行得到一对同位角相等,再由一对直角的相等得到△DAM∽△AOC,根据相似得比例,由OD,AD表示出AM的长,进而得到BM的长,再由MN∥AC,得到两对同位角的相等,从而得到△BMN∽△BAC,由相似得比例BN的长,从而得到CN的长,然后分别表示出各个三角形的面积,可用矩形OABC的面积-三角形BMN的面积-三角形OCN的面积-三角形OAM的面积来求得.

    (3)根据(2)得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值.

    (1)(4,0),(0,3);

    (2)当0<t≤4时,OM=t

    ∵MN∥AC,

    ∴∠OMN=∠OAC,∠ONM=∠OCA,

    ∴△OMN∽△OAC,

    ∴[OM/OA]=[ON/OC],即[t/4]=[ON/3],

    ∴ON=[3/4t,则S=

    1

    2]OM•ON=[3/8]t2

    当4<t<8时,

    如图,∵OD=t,

    ∴AD=t-4,

    ∵MN∥AC,

    ∴∠CAO=∠MDA,

    又∠COA=∠MAD=90°,

    ∴△DAM∽△AOC,可得AM=[3/4](t-4),

    ∴BM=6-[3/4t,

    ∵MN∥AC,

    ∴∠BNM=∠BCA,∠BMN=∠BAC,

    ∴△BMN∽△BAC,可得BN=

    4

    3]BM=8-t

    ∴CN=t-4

    S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积-Rt△MBN的面积-Rt△NCO的面积

    =12-[3/2](t-4)-[1/2](8-t)(6-[3/4t)-

    3

    2(t−4)=−

    3

    8]t2+3t

    (3)有最大值.

    当0<t≤4时,

    ∵抛物线S=[3/8]t2的开口向上,在对称轴t=0的右边,S随t的增大而增大

    ∴当t=4时,S可取到最大值[3/8]×42=6;(11分)

    当4<t<8时,

    ∵抛物线S=−

    3

    8t2+3t的开口向下,它的顶点是(4,6),

    ∴S≤6,

    综上,当t=4时,S有最大值6.

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题考查了矩形的性质,二次函数的应用、图形的面积求法等知识,其中涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质,二次函数求最值的方法,在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果,考查了学生综合运用知识解决问题的能力.