Question

已知f(x)它的一阶导数等于它的6阶导数,求它的n阶导数

Answer 1

这实际是个微分方程问题.

设D表示微分算子,亦即Df=f'.

那么,原方程化为Df=D^6f,即(D^5-1)Df=0.

解关于D的方程,得D=0或D为5次单位根w1,...,w5.

于是得到f的表达式：f(x)=C_0 + C_1 e^(w1 x)+ ...+C_5 e^(w5 x).

其中C_0,...,C_5是任意常数.

求得了f的表达式,求导数是很简单的.