这就是错位相减法求和问题.
设前式为Sn,则当x=1时,Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)/2.
当x≠1时,
Sn=1+2x+3x²+…+nx^(n-1),
则xSn= x+2x²+…+(n-1)x^(n-1)+nx^n,
相减得(1-x)Sn=1+x+x²+…+x^(n-1)-nx^n= (1-x^n)/(1-x)-nx^n,
所以,Sn= (1-x^n)/(1-x)² -(nx^n)/(1-x).
对于后式,只需令x=1/2,即得Sn=4-(n+2)/2^(n-1).
这就是错位相减法求和问题.
设前式为Sn,则当x=1时,Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)/2.
当x≠1时,
Sn=1+2x+3x²+…+nx^(n-1),
则xSn= x+2x²+…+(n-1)x^(n-1)+nx^n,
相减得(1-x)Sn=1+x+x²+…+x^(n-1)-nx^n= (1-x^n)/(1-x)-nx^n,
所以,Sn= (1-x^n)/(1-x)² -(nx^n)/(1-x).
对于后式,只需令x=1/2,即得Sn=4-(n+2)/2^(n-1).